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[原创] Proe齿轮几何关系及画法

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发表于 2017-5-8 18:20 | 显示全部楼层 |阅读模式
看到有些帖子还在求助画齿轮,并且网上的教程也有些混乱,使人知其然不知其所以然。在下抛砖引玉,自己做一个小教程

        首先,我们需要明白渐开线的理论。由百度可知,渐开线(又称圆的渐开线),指的是在平面上,一条动直线(发生线)沿着一个固定的圆(基圆)纯滚动时,此动直线上一点的轨迹。
        这句话应该如何理解?如下图:
$~LY_MB~U]0{E`64VT]`8.png
当OB线针对圆心O旋转时,兰色弧长S=BC(紫色线段),C点形成的轨迹就是此半径为OB的基圆(为什么要叫基圆,后面有解释 )的渐开线

        故由此可知,半径r=OB,变量为角ang(很明显,此角从0~360度变化),那么兰色弧长S(也就是BC)的长度:
      S=Pi*r*ang/180

    如果把上图O点看做是笛卡尔坐标(此坐标就是我们最常用的X,Y,Z三轴坐标)的原点,那么
x=OA+DC
OA=r*cos(ang)
DC=S*sin(ang)= Pi*r*ang/180*sin(ang)
   
      最终得知
x= r*cos(ang)+ Pi*r*ang/180*sin(ang)

y=AB-AD
AB=r*sin(ang)
AD=S*cos(ang)= Pi*r*ang/180*cos(ang)

最终得知
y= r*sin(ang)- Pi*r*ang/180*cos(ang)

所以可以推论渐开线的方程为
x= r*cos(ang)+ Pi*r*ang/180*sin(ang)
y= r*sin(ang)- Pi*r*ang/180*cos(ang)
其中基圆半径r为常量,角度ang为变量
今天要下班了,明天继续编,希望大家喜欢


      

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发表于 2017-5-8 21:19 | 显示全部楼层
期待,写完了再加分,谢谢朋友讲解
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发表于 2017-5-9 09:54 | 显示全部楼层
欢迎楼主的讲座,谢谢
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发表于 2017-5-9 10:27 | 显示全部楼层
解释得很好
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 楼主| 发表于 2017-5-9 12:36 | 显示全部楼层
今天继续。

        我们已知道笛卡尔坐标需要三个值:x,y,z。上面我们已经推断出了x和y值。因为曲线为2D曲线,z值当然为0。因此,上面的方程在Proe中应用如下:
       不论你用哪个版本的Proe,选择用方程画曲线好了,坐标系选用笛卡尔,选择默认的图形坐标,输入下面的方程
r=10
ang=60*t
x= r*cos(ang)+ Pi*r*ang/180*sin(ang)
y= r*sin(ang)- Pi*r*ang/180*cos(ang)
z=0

     上面各行的意思是什么呢?
r=10  表示确定基圆的半径为10,就是上面图中OB的距离;
ang=60*t    这里的t是一个Proe自带的变量,数值是从0到1变化;因此,这句话意思是,赋值给变量ang, 其中ang的数值0变化到60
   (有人会问,上面不是讲过,ang是从0到360度变化么?其实画齿轮,只要60度范围内的渐开线就够了,画太长了没必要。大家可以自己在Proe里改60为360,或者更大,比如720)
x,y值由我们前面得到的方程赋值,z当然必须是0

然后你就会发现你画出了一条渐开线(当然,你可以先画一个半径10的圆,看得更清楚一些)

DKV6KC9]K$_AW@{B7}2_]GB.png


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发表于 2017-5-9 13:06 | 显示全部楼层
新生,不断学习,谢谢
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 楼主| 发表于 2017-5-9 13:06 | 显示全部楼层
     当然,还有Proe柱坐标

为什么要用柱坐标,因为齿轮是个圆柱的,柱坐标相对高级齿轮来说,控制参数要方便一些

那么肯定要讲一讲柱坐标了

在Proe中,柱坐标系用半径r、角度theta和Z表示的坐标值。什么意思呢?请看下图:
(0{H5923(VM[1CK3)S3A7@T.png

图中P的坐标表示为:半径r=OD,角度为Theta,高度z=PD

现在了解了柱坐标系了,那么我们在画渐开线时,柱坐标系的方程应该如何推论?

同样,图形如下:
)BUSO39HEEX03ZBTK))6KJA.png

基圆半径GR=OB
柱坐标角度THETA针对变量角ang变化而变化
发生线S长度为兰色弧长,即
S=Pi*GR*ang/180=BC

那么:TAN(ang-theta)=BC/OB=Pi*GR*ang/180/GR=Pi*ang/180
得到:theta=ang-ATAN(Pi*ang/180)

然后我们要求柱坐标半径r

上图中,r=OC
在直角三角形OBC中,
OC^2=OB^2+BC^2,即
r^2=GR^2+(Pi*GR*ang/180)^2
r=GR*SQRT(1+(Pi*ang/180)^2)-------------在PROE中,函数SQTR()为开平方函数

由上整理可知,圆渐开线柱坐标方程式为:
GR=10
ang=60*t
r=GR*SQRT(1+(Pi*ang/180)^2)
theta=ang-ATAN(Pi*ang/180)
Z=0

现在,你可以选择柱坐标系画一个和笛卡尔坐标系一模一样的渐开线了
54Q0YR$T6XZ_JQ@~7ZSOEW5.png




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 楼主| 发表于 2017-5-9 16:23 | 显示全部楼层
好了,圆的渐开线几何理论知识讲完了,下面讲一讲齿轮基本关系

在齿轮中,需要控制的有四个圆:分度圆,齿顶圆,齿根圆,基圆

其中分度圆指的是在齿轮计算中规定的作为计算的基准的圆,这个圆是最重要的,其为模数M和齿数Z的乘积,其它数据变化对它都没影响。

另外三个圆是由分度圆根据齿轮的数据变化而来的

我总结如下:

分度圆直径D=模数M*齿数Z
齿顶圆直径DA=分度圆直径D+2*(齿顶高系数HAX+变位系数X)* 模数M
齿根圆直径DF=分度圆直径D-2*(齿顶高系数HAX+齿隙系数CX-变位系数X)* 模数M
基圆直径DB=分度圆直径D*cos(压力角)

关于什么齿高系数啊,压力角啊,我就不讲了,学过机械的都了解;不是机械专业的也没关系,我们有万能的百度



下面就开始讲直齿齿轮的具体画法,在实例中我们再去了解熟悉齿轮的各个关系


1.   新建一个零件档,找到并打开参数,我们首先输入如下参数:

参数                     类型           说明                                     初始值
GM                    实数           模数                                          3
GZ                    实数           齿数                                         25
ALPHA            实数           压力角                                         20
HAX                    实数           齿顶高系数                                   1
CX                    实数           齿隙系数                              0.25
GX                实数           变位系数                                 0
GB                    实数        齿厚                                          8
GD                    实数           分度圆直径                                  0
GDA                    实数           齿顶圆直径                                  0
GDF                    实数           齿根圆直径                                  0
GDB                    实数           基圆直径                                  0

2.    打开关系,输入如下:

/*齿轮基本关系式
GD=GM*GZ
GDA=GD+2*(HAX+GX)*GM
GDF=GD-2*(HAX+CX-GX)*GM
GDB=GD*COS(ALPHA)

/*  Proe中这个符号表示后面的不参与计算,我一般用它来写说明

打开参数,可以看到,后面四个圆的参数值已被锁定并变化了
57M0P1F@%V2TXV`@(T1IF96.png

3.   现在,我们再草绘曲线:在前视面上以原点为圆心,绘制四个同心圆。退出草绘后,在关系中输入四个圆直径的关系:

   /*四个基本圆
D0=GD
D1=GDA
D2=GDF
D3=GDB

重生图形,发现四个圆尺寸控制好了

4.  以方程式绘制曲线,选择默认坐标系,选柱坐标(当然你也可以用笛卡尔),输入下面的渐开线方程式

ang=60*t
/*定义基圆半径GBR
GBR=GDB/2

r=GBR*SQRT(1+(Pi*ang/180)^2)
theta=ang-ATAN(Pi*ang/180)
Z=0

针对基圆的渐开线就画好了
RCPG26$J_K_`DVWIGH))~[8.png



现在我们发现一个问题,齿轮的齿应该在X轴上对称才是最好的(尤其像我一样的强迫性患者),那么曲线应该就得有个旋转角才对。



现在曲线的起点在X轴线上,怎么样才能让曲线起点不在X轴线上呢?如下图:
1JU~G]{$W(K(9(J`AVREZAA.png

这个起点肯定不能乱定,是要跟着分度圆变化的
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 楼主| 发表于 2017-5-9 17:56 | 显示全部楼层
本帖最后由 aladdin008 于 2017-5-10 10:33 编辑

首先,如下图:
{T}]CS4ZULW%4II3%GL22M9.png

我们需要让齿形分中,要计算的偏转角为角OXA,此角=角OXP+OPA

先来分析角OXP。由齿轮的几何关系可知,P1与P在X轴上对称,线段PP1与P1P2相等。角OPP2=360/齿数

那么,角OXP=90/齿数=90/GZ

上面的结论很容易就可以推论出来,重点是那个小角OPA,我们把它几何放大,并让P点转动落到X轴上,画好辅助线。如下图:
C@PPSI([V]}ERO[60KNR(MT.png

从图中可以得知,外面圆为齿轮的分度圆,里面的圆为基圆,对应第一副图齿轮上的两个红色圆

那么,设分度圆半径为GR=GD/2,基圆半径为GBR=GDB/2。我们在PROE画图中,这两个半径都是已知条件。我们需要求出角度Theta_p

根据柱坐标系中,圆的渐开线方程为

r=GBR*SQRT(1+(Pi*ang/180)^2)

上式中,r即已知条件GR,代入后

GR=GBR*SQRT(1+(Pi*ang/180)^2)

求出图中角度

ang=SQRT(GR^2-GBR^2)*180/Pi/GBR

由图中三角函数关系可知

cos(ang-theta_p)=GBR/GB

theta_p=ang-acos(GBR/GB)

把ang代入上式,得出

theta_p=SQRT(GR^2-GBR^2)*180/Pi/GBR-acos(GBR/GB)

好了,终于求完了, 那么起始角,我们取个什么名呢?算了,还是叫ang_p吧,不过在后面加上90/GZ
ang_p=gheta_p+90/GZ=SQRT(GR^2-GBR^2)*180/Pi/GBR-acos(GBR/GB)+90/GZ

看不懂的慢慢看,总会搞懂的,今天要下班了,明天继续
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 楼主| 发表于 2017-5-10 09:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 aladdin008 于 2017-5-10 10:42 编辑

今天争取把它写完。

我们已经求出了齿轮渐开线的起始偏转角,那么就有很多种方法,把曲线偏转到你所需要的角度

最简单是正常画出曲线,然后用复制--选择性粘贴(在PROE2001中,用的是命令是变换曲面),让曲线旋转一个角度,然后控制角度=THETA_P

这种简单的方法我就不多讲了,大家自己去尝试一下。

下面我讲讲如何控制方程式,直接让曲线偏移一个角度。其实明白了方程式原理,也很简单,在柱坐标系中,直接让theta角度偏一下,就行了,意思是,在我们原来的方程式里面,让theta的计算中,减去theta_p。方程式如下:

R`WU~UY@~P_WXLAX9(L_6Q2.png
/*设置范围为60度
ang=60*t
/*定义基圆半径GB,分度圆半径GR
GBR=GDB/2
GR=GD/2
/*求起始角
ang_p=SQRT(GR^2-GBR^2)*180/Pi/GBR-ACOS(GBR/GR)+90/GZ
/*柱坐标方程
r=GBR*SQRT(1+(Pi*ang/180)^2)
theta=ang-ATAN(Pi*ang/180)-ang_p
Z=0


如果是用笛卡尔坐标方程,方程如下:
/*设置范围为60度
ang=60*t
/*定义基圆半径GBR,分度圆半径GR
GBR=GDB/2
GR=GD/2
/*求起始角
ang_p=SQRT(GR^2-GBR^2)*180/Pi/GBR-ACOS(GBR/GR)+90/GZ
/*笛卡尔坐标方程
x= GBR*cos(ang-ang_p)+ Pi*GBR*ang/180*sin(ang-ang_p)
y= GBR*sin(ang-ang_p)- Pi*GBR*ang/180*cos(ang-ang_p)
Z=0



大家可以自行验证一下,然后想想为什么笛卡尔方程的起始角求法与柱坐标方程一样,为什么笛卡尔方程要如此写。在这里我就不多讲。


下面再继续画齿轮。


5. 把画好的渐开线,以TOP面镜像,如下图:
3(W49H%YXX(CCY}[756%O.png


6. 在FRONT面上,拉伸实体,草绘时,用里面最小的那个圆(齿根圆)为参考,拉伸高度随便
A~L7XI95Y}600L6SN]FW.png

7. 用关系式控制刚刚的拉伸高度,让高度尺寸=齿厚GB
[H0]HY)~1{CL%IO]1QRCTB2.png


8.  在FRONT平面上,再做一个拉伸,用来做齿形,草绘如下,标一个半径,半径值随意。因为这个半径也需要用关系式来控制的。拉伸高度成形到刚刚拉伸1的高度平面。
I{)6]QHDTI(Z3G@MVKD]6{3.png

9. 现在打开关系,在关系中输入:

/*齿根圆角
   IF HAX>=1
   d7=0.38*GM
   ENDIF
   IF HAX<1
   d7=0.46*GM
   ENDIF


2(7EN(A1R](FD~R5Y2QWEH6.png


10. 阵列齿形:选择拉伸2陈列,用圆形阵列,阵列角度和数量随意(为了方便老版本的Preo用户,我这里选择控制阵列角度和个数)。输入关系式


/*陈列齿形
d14=360/GZ
p17=GZ


)NLKZVC4XQEME]KH}PB9RJ2.png


现在齿轮就画完了,是不是很简单?模型树里面只有5步!说实话,我有时候看到别人画的齿轮有N多步,我就感到不舒服(强迫性患者的习惯)。我画图的口号是:简约需不简单!

好了,现在该怎么修改成我想要的齿轮呢?也很简单,打开参数,对于标准直齿齿轮来说,修改参数里面的模数,齿数,可能还有齿高,然后重生,就是你想要的了。

当然,还有一种方法,采用用户输入,下面我会继续讲怎么跳出对话框,让用户输入参数来改变齿轮



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